Régime Permanent 1 Degré de Liberté.

TEST n°1.

ccc

Dans le tableau ci-dessous sont regroupées les valeurs de l'amplitude `V_C` de la tension `v_C` aux bornes du condensateur à différentes valeurs de fréquence `f.`

`f (kHz)` `0,100` `0,500` `1,00` `1,50` `2,00` `2,20` `2,35` `2 ,55` `2,75`
`V_C (V)` `1,40` `1,45` `1,57` `1,84` `2,30` `2 ,74` `3,00 ` `3,50` `4,00`
`f (kHz)` `2 ,80` `2,94` `3,00` `3,20` `3,34` `3,67` `4,00` `4,40` `5,00`
`V_C (V)` `4,18` `4,25` `4 ,18` `3,70` `3,00` `2,20` `1,58` `1,14` `0,760`

1- Tracer `V_C (f).` Télécharger le papier gradué linéaire

Réponse

ccc

2- En déduire la fréquence de resonance `f_R,` les fréquences de coupure `f_{c1}` et `f_{c2},` la tension maximale `V_{C max}` et la tension `e_0.`

Réponse
## f_R=2,94 kHz ##

## V_Cmax=4,25 V \implies ##
## \dfrac{V_{Cmax}}{\sqrt2}=\dfrac{4,25}{\sqrt2} \implies ##
## \dfrac{V_{Cmax}}{\sqrt2}=3,00 V \implies ##
## \begin{cases} f_{c1}=2,37 kHz\\ f_{c2}=3,40 kHz \end{cases} ##

## e_0=V_C (0) \implies ##
## e_0=1,4V ##

3- Calculer la valeur du coefficient d'amortissement `δ_1` en utilisant la formule exacte suivante : ##δ_1=2π\sqrt{\dfrac{-f_R^2+\sqrt{f_R^4+4\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4}\right)^2 }}{2}}##

Réponse
## δ_1=2π\sqrt{\dfrac{-f_R^2+\sqrt{f_R^4+4\left(\dfrac{f_{c2}^2-f_{c1}^2}{4}\right)^2 }}{2}} \implies ##
## δ_1=2\timesπ\times\sqrt{\dfrac{-2,94^2+\sqrt{2,94^4+4\times\left(\dfrac{3,40^2-2,37^2}{4}\right)^2 }}{2}}\times 10^3 \implies ##
## δ_1=3131 s^{-1} ##

4- Calculer le rapport ##\dfrac{δ_1}{2πf_0}## où `f_0` est la féquence propre. Commenter ce résultat.

Réponse
## \dfrac{δ_1}{2πf_0}=\dfrac{δ_1}{2π\sqrt{f_R^2+2\left(\dfrac{\delta_1}{2\pi}\right)^2}} \implies ##
## \dfrac{δ_1}{2πf_0}=\dfrac{3131}{2\timesπ\times\sqrt{2,94^2\times10^6+2\times\left(\dfrac{3131}{2\times\pi}\right)^2}} \implies ##
## \dfrac{δ_1}{2πf_0}=0,16 ##

La valeur ##0,16 ## du rapport ##\dfrac{δ_1}{2πf_0} ## n'est très inférieur à 1, l'amortissement n'est donc pas très faible.

5- Calculer de 2 manières différentes `δ` en utlisant deux formules approchées. Ces deux valeurs seront noter `δ_2` et `δ_3.`
Calculer les écarts relatifs ## \left|{\dfrac{δ_2-δ_1}{δ_1}}\right|## et ##\left|{\dfrac{δ_3-δ_1}{δ_1}}\right|##. Conclure dans le cas où l'on tolère des écarts relatifs ne dépassant pas ##5\% ##.

Réponse

Lorsque l'amortissement est très faible ##\left(\dfrac{δ_1}{2πf_0}<<1\right)##, les trois fréquences `f_0,` `f_a ` et `f_R` peuvent être confondues.

## V_{C max}= \dfrac{e_0 \omega_0^2 } {2δ_2\omega_a} \implies ##
## V_{C max}≅ \dfrac{e_0 \omega_R } {2δ_2} \implies ##
## δ_2≅π \dfrac{e_0 } {V_{C max}} f_R \implies ##
## δ_2≅π \dfrac{1,4 } {4,25} \times 2940 \implies ##
## δ_2≅3043 s^{-1} ##

## δ_3≅π \Delta f \implies ##
## δ_3≅π (f_{c2}-f_{c1}) \implies ##
## δ_3≅π (3,40 -2,37)\times 10^3 \implies ##
## δ_3≅3236 s^{-1} ##


## \left|\dfrac{δ_2-δ_1}{δ_1}\right| =\left|\dfrac{3043-3131}{3131}\right| \implies ##
## \left|\dfrac{δ_2-δ_1}{δ_1}\right| =2,8\% ##


## \left|\dfrac{δ_3-δ_1}{δ_1}\right| =\left|\dfrac{3226-3131}{3131}\right| \implies ##
## \left|\dfrac{δ_3-δ_1}{δ_1}\right| =3,5\% ##

Si on tolère des écarts relatifs ne dépassant pas ##5\% ##, les trois formules sont équivalentes malgré que le rapport ##\dfrac{δ_1}{2πf_0}## traduisant les amortissements, n'est pas tès inférieur à 1.

6- En utilisant la formule exacte du coefficient de qualité ##Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-2δ T_a }} ##, Calculer `Q_1,` `Q_2` et `Q_3` correspondant aux valeurs `\delta_1,` `\delta_2` et `\delta_3.`
Les comparer en calculant les écarts relatifs suivants : ## \left|{\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}}\right|## et ##\left|{\dfrac{Q_3-Q_1}{Q_1}}\right|##. Conclure.

Réponse
## Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-2δT_a}} \implies ##
## Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-2π\dfrac{2δ}{\omega_a}}} \implies ##
## Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-2π\dfrac{2δ}{\sqrt{\omega_0^2-δ^2}}}} \implies ##
## Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-2π\dfrac{2δ}{\sqrt{(\omega_R^2+2δ^2)-δ^2}}}} \implies ##
## Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-2π\dfrac{2δ}{\sqrt{\omega_R^2+δ^2}}}} \implies ##
## Q=2π\dfrac{1}{1-e^{-\dfrac{2δ}{\sqrt{f_R^2+\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2}}}} ##


## Q_1=2π\dfrac{1}{1-e^{-\dfrac{2\times3,131}{\sqrt{2,94^2+\left(\dfrac{3,131}{2\timesπ}\right)^2}}}} \implies ##
## Q_1=7,16 ##


## Q_2=2π\dfrac{1}{1-e^{-\dfrac{2\times3,043}{\sqrt{2,94^2+\left(\dfrac{3,043}{2\timesπ}\right)^2}}}} \implies ##
## Q_2=7,22 ##


## Q_3=2π\dfrac{1}{1-e^{-\dfrac{2\times3,236 }{\sqrt{2,94^2+\left(\dfrac{3,236 }{2\timesπ}\right)^2}}}} \implies ##
## Q_3=7,09 ##


## \left|\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}\right| =\left|\dfrac{7,22-7,16}{7,16}\right| \implies ##
## \left|\dfrac{Q_2-Q_1}{Q_1}\right| =0,8\% ##


## \left|\dfrac{Q_3-Q_1}{Q_1}\right| =\left|\dfrac{7,09-7,16}{7,16}\right| \implies ##
## \left|\dfrac{Q_3-Q_1}{Q_1}\right| =1\% ##


Si on accepte un écart de l'ordre de ##1\%,## on peut donc choisir indifféremment une des trois valeurs de δ pour calculer Q à partir de sa formule exacte.

7- Calculer `Q_4` et `Q_5` en utilisant deux formules approchées de Q établies dans le cas de trés faibles amortissements. Les comparer à `Q_1.` Conclure.

Réponse
## Q_4=\dfrac{V_{Cmax}}{e_0} \implies ##
## Q_4=\dfrac{4,25}{1,40} ##
## Q_4=3,04 ##


## Q_5=\dfrac{f_R}{\Delta f} \implies ##
## Q_5=\dfrac{2,94}{3,40-2,37} ##
## Q_5=2,85 ##


## \left|\dfrac{Q_4-Q_1}{Q_1}\right| =\left|\dfrac{3,04-7,16}{7,16}\right| \implies ##
## \left|\dfrac{Q_4-Q_1}{Q_1}\right| =58\% ##


## \left|\dfrac{Q_5-Q_1}{Q_1}\right| =\left|\dfrac{2,85-7,16}{7,16}\right| \implies ##
## \left|\dfrac{Q_5-Q_1}{Q_1}\right| =60\% ##


Ces deux derniers écarts relatifs sont importants, les valeurs de Q obtenues des formules approchées sont erronées. Ces formules ne se prèttent donc pas au calcul de Q lorsque l'amortissement n'est pas très faible. Ainsi il faut, avant leur utilisation, s'assurer que le rapport ##\dfrac{δ_1}{2πf_0}## est très inférieur à 1. Dans le doute, il est préférable d'utiliser la formule exacte de Q.